几何变换

Intro

基本内容：
基本概念
二维几何变换

三维几何变换

基础内容：
齐次坐标：二维点 (x, y) 可用齐次坐标(X,Y,ω)表示, 其中 x = X/ω, y = Y/ω
优点：用矩阵运算统一表示各种几何变换，易于表示复合变换，支持非线性变换表示 (3D-perspective transformations)
可表示无穷远点(Infinity)

所有变换都是基于一个点

二维几何变换

基本变换：平移、旋转、放缩(放大缩小)
其它变换：剪切、对称、复合(多次基本变换)

二维平移

二维旋转变换：

二维放缩：

二维错切变换：

对称变换：

复合二维变换：

Def：进行多次变换得到的最终变换称为复合变换，复杂变换可由简单变换复合得到

特点：满足结合律不满足交换律

刚性变换：

def：形状不变但位置与朝向变化(the position and orientation may change)
特点：
1.点之间的距离不变;
2.线之间的夹角不变；
3.旋转与平移都是刚性变换
4.刚性变换的复合变换仍然是刚性变换

仿射变换

Def:一般线性变换称为仿射变换

三维

场景坐标系⟺造型变换
视点坐标系⟺取景变换
投影坐标系⟺投影变换
屏幕坐标系⟺ 设备变换

Def of 局部坐标系：建立单个物体模型简化物体的定义
Def of 世界坐标系：从单个物体构造复杂场景，造型变换

三维平移

三维缩放

三维旋转

x轴：

y轴：

z轴：

绕任意直线旋转：

条件：已知直线是P1到O2的直线l，P绕l轴旋转λ角度到达P’
三步走：
1.坐变换让l与z轴重合
　（1）平移l使得l经过原点（平移P1到原点）
　（2）绕x轴旋转，使得l落入ZOX平面（旋转P2，角度是l在YOZ平面的投影与z轴的夹角）
　（3）绕y轴旋转


2.绕z轴旋转
3.逆变换让l回到原位

点在两坐标系中的坐标变换—平移

已知OXYZ与O′X′Y′Z′的：
　坐标轴平行，且朝向相同
　O′ 在OXYZ中的坐标为(x_0,y_0,z_0)
同一个点在两坐标系的坐标变换为：

点在两坐标系中的坐标变换—旋转

原点相同, X’,Y’,Z’轴在OXYZ中方向分别为u,v,n；
OXYZ中点P(x,y,z)在OX’Y’Z’中坐标P(x′,y′,z′)的关系
　　　x^′=u∙P;
　　　y^′=v∙P;
　　　z^′=n∙P;
　　　1=1.

点在两坐标系中的坐标变换—一般情形

原点O′在OXYZ中的坐标为O′(x_0, y_0, z_0)
X’,Y’,Z’轴在OXYZ中方向分别为u,v,n；
OXYZ中点P(x,y,z)在OX′Y′Z′中坐标P(x′,y′,z′)的关系
先考虑P(x,y,z)到OX′′Y′′Z′′
在考虑OX′′Y′′Z′′到O^′X^′Y′Z′

Opengl 常用函数

几何变换函数-glBegin()和glEnd()

void glMatrixMode(GLenum Mode)设置变换模式，Mode有3种取值：
1.GL_MODELVIEW, 模型变换和视点变换
2.GL_PROJECTION,投影变换
3.GL_TEXTURE, 纹理变换